【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60.
(1)求⊙O的直径;
(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;
(3)若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动,设运动时间为t(s)(0<t<2),连结EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形.
【答案】(1)4cm;(2)2cm;(3)t=1s或t=1.6s时
【解析】试题分析:(1)先根据圆周角定理可得∠ACB=90,再由∠ABC=60可得∠BAC=30,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果;
(2)连结OC,根据切线的性质可得∠OCD=90,根据圆周角定理可得∠COD=60,从而可得∠D=30 ,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果;
(3)根据题意得BE=(4-2t)cm,BF=tcm,分∠EFB=90与∠FEB=90两种情况结合相似三角形的性质即可求得结果.
(1)∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90
∵∠ABC=60
∴∠BAC=180-∠ACB-∠ABC=30
∴AB=2BC=4cm,即⊙O的直径为4cm;
(2)如图,连结OC.
∵CD切⊙O于点C,
∴CD⊥CO
∴∠OCD=90
∵∠BAC=30
∴∠COD=2∠BAC=60.
∴∠D=180-∠COD-∠OCD=30
∴OD=2OC=4cm
∴BD=OD-OB=4-2=2cm
∴当BD长为2cm时,CD与⊙O相切;
(3)根据题意,得BE=(4-2t)cm,BF=tcm;
如图,当∠EFB=90时,△BEF为直角三角形,
∵∠EFB=∠ACB,∠B=∠B
∴△BEF∽△BAC
∴,即,解得t=1.
如图,当∠FEB=90时,△BEF为直角三角形,
∵∠FEB=∠ACB,∠B=∠B,
∴△BEF∽△BCA.
∴,即,解得t=1.6.
∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,点E是边CD的中点,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;
(2)若CB=CD,求四边形BDFC的面积.
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【题目】在正方形中,点是边的中点,点是对角线上的动点,连接,过点作交正方形的边于点;
(1)当点在边上时,①判断与的数量关系;
②当时,判断点的位置;
(2)若正方形的边长为2,请直接写出点在边上时,的取值范围.
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【题目】如图,ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点F,BE平分∠ABC,交AD于点E.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若∠AEB=68°,求∠C.
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【题目】∠AOB与∠COD有共同的顶点O,其中∠AOB=∠COD=60°.
(1)如图①,试判断∠AOC与∠BOD的大小关系,并说明理由;
(2)如图①,若∠BOC=10°,求∠AOD的度数;
(3)如图①,猜想∠AOD与∠BOC的数量关系,并说明理由;
(4)若改变∠AOB,∠COD的位置,如图②,则(3)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请直接写出你的猜想.
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【题目】已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点,且EF∥DC.(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;(2)若EF=2cm,求AB的长.
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【题目】如图,已知O是直线AB上一点,∠AOC=45°36’,OD平分∠BOC,求∠AOD的度数.完成下列推理过程:
解:由题意可知,∠AOB是平角,
∠AOB= +∠BOC
因为∠AOC=45°36′
所以∠BOC= ° ′
又因为OD平分∠BOC
∴∠COD=∠BOC= ° ′
∴∠AOD=∠ +∠ = ° ′
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【题目】在平面直角坐标系中,如果点、点为某个菱形的一组对角的顶点,且点、在直线上,那么称该菱形为点、的“极好菱形”,如图为点、的“极好菱形”的一个示意图。
(1)点,,中,能够成为点、的“极好菱形”的顶点的是_______.
(2)若点、的“极好菱形”为正方形,则这个正方形另外两个顶点的坐标是________.
(3)如果四边形是点、的“极好菱形”
①当点的坐标为时,求四边形的面积
②当四边形的面积为,且与直线有公共点时,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,在一张长为a、宽为b的长方形纸片上,剪掉一个大圆和两个半径相等的小圆.
(1)列出剩余纸片(图中阴影部分)面积的代数式;(结果要求化简)
(2)当a=6cm,b=4cm时,求阴影部分的面积,(π取3.14)
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