Question

4．如图，已知AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．给出以下结论：①AD∥OC；②FC=FE；③点E为△CDB的内心．其中正确的是①③（填序号）．

Answer 1

分析 ①根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．根据圆周角定理即可得出AD⊥BD，由此可证得AD∥OC；
②若FE=FC，则∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB（因为OC⊥BD），即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而这个条件并不一定成立．故②不正确；
③连接DE、BE；上面已证得弧DE=弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论③正确．

解答 解：①连接OD，DE，EB．CD与BC是⊙O的切线，易证△CDO≌△CBO，则∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC，故①正确；

②若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故②不正确；

③∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠DOE，而∠BDE=$\frac{1}{2}$∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故③正确；
故答案是：①③．

点评 本题考查了圆的综合题．解题时，利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弦切角定理，内心的概念求解，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的有关性质和相关定理．