Question

【题目】如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】1或.

【解析】

过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．

解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，

∴四边形DCMN是矩形

∴AN＝BM＝＝5

∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，

∴AE＝A'E，

若A'C＝BC，且CM⊥AB

∴BM＝A'M＝5

∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2

∴AE＝1

若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，

∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，

∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，

∴A'B＝

∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝

∴AE＝

故答案为：1或