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【题目】在平面直角坐标系中,若x轴上的点Ay轴上的点B同时在某函数的图象上则称AOB为该函数图象的截距三角形,如图①,AOB为直线l截距三角形

1)某一次函数图象的截距三角形是等腰直角三角形,请写出一个符合条件的函数表达式(写出一个即可);

2)如图②,若抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限的截距三角形与直线y=﹣x+4截距三角形完全重合,求这条抛物线对应的函数表达式;

3)如图③,在(2)的条件下,在第一象限的抛物线上任取一点P,过点Px轴的平行线与抛物线在第一象限的截距三角形的直角边或直角边的延长线交于点D,与斜边或斜边的延长线交于点E,设点P的横坐标为m,线段DE的长度为d.求dm之间的函数关系式;

4)如图④,在(3)的条件下,过点EEFy轴交x轴于点F.求四边形ODEF的周长不变时m的取值范围.

【答案】(1)y=﹣x+2(答案不唯一);(2)y=﹣x2+3x+4;(3)d=|m2﹣3m|;(4)m>3或m<0.

【解析】

1)按照条件,写出表达式即可,答案不唯一;

2)点(40)、(04)是抛物线上的点,将这两个点的坐标代入抛物线表达式,即可求解;

3)设点Pm-m2+3m+4),则点Em2-3m-m2+3m+4),d=DE=m2-3m,即可求解;

4)四边形ODEF的周长=2OD+2CE=2m2-3m-m2+3m+4=8d=DE=m2-3m0,即可求解.

1y=﹣x+2(答案不唯一);

2y=﹣x+4,令x4,则y4,令y0,则x4

则点(40)、(04)是抛物线上的点,

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:,解得:

故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4

3)设点Pm,﹣m2+3m+4),则点Em23m,﹣m2+3m+4),

①当点P在点C之上时,

即﹣m2+3m+4≥4(即:0≤m≤3),

dDE=﹣(m23m)=﹣m2+3m

②当点P在点C之下,

同理dDEm23m,此时,m3m0

综上,d|m23m|

4)由(2)知:

①当点P在点C之上时,

四边形ODEF的周长=2OD+2CE2(﹣m2+3mm2+3m+4)=﹣4m2+12m+16,不是常数;

②当点P在点C之下时,

四边形ODEF的周长=2OD+2CE2m23mm2+3m+4)=8,是常数;

m3m0,四边形ODEF的周长不变.

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3)将直线y=﹣x+b向下平移m个单位,当直线与双曲线没有交点时,求m的取值范围.

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1)求出的值;

2)求证:EGDF

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