【题目】在平面直角坐标系中,若x轴上的点A与y轴上的点B同时在某函数的图象上则称△AOB为该函数图象的“截距三角形”,如图①,△AOB为直线l的“截距三角形”.
(1)某一次函数图象的“截距三角形”是等腰直角三角形,请写出一个符合条件的函数表达式(写出一个即可);
(2)如图②,若抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限的“截距三角形”与直线y=﹣x+4的“截距三角形”完全重合,求这条抛物线对应的函数表达式;
(3)如图③,在(2)的条件下,在第一象限的抛物线上任取一点P,过点P作x轴的平行线与抛物线在第一象限的“截距三角形”的直角边或直角边的延长线交于点D,与斜边或斜边的延长线交于点E,设点P的横坐标为m,线段DE的长度为d.求d与m之间的函数关系式;
(4)如图④,在(3)的条件下,过点E作EF∥y轴交x轴于点F.求四边形ODEF的周长不变时m的取值范围.
【答案】(1)y=﹣x+2(答案不唯一);(2)y=﹣x2+3x+4;(3)d=|m2﹣3m|;(4)m>3或m<0.
【解析】
(1)按照条件,写出表达式即可,答案不唯一;
(2)点(4,0)、(0,4)是抛物线上的点,将这两个点的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(3)设点P(m,-m2+3m+4),则点E(m2-3m,-m2+3m+4),d=DE=m2-3m,即可求解;
(4)四边形ODEF的周长=2OD+2CE=2(m2-3m-m2+3m+4)=8,d=DE=m2-3m>0,即可求解.
(1)y=﹣x+2(答案不唯一);
(2)y=﹣x+4,令x=4,则y=4,令y=0,则x=4,
则点(4,0)、(0,4)是抛物线上的点,
将这两个点的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4;
(3)设点P(m,﹣m2+3m+4),则点E(m2﹣3m,﹣m2+3m+4),
①当点P在点C之上时,
即﹣m2+3m+4≥4(即:0≤m≤3),
d=DE=﹣(m2﹣3m)=﹣m2+3m;
②当点P在点C之下,
同理d=DE=m2﹣3m,此时,m>3或m<0;
综上,d=|m2﹣3m|;
(4)由(2)知:
①当点P在点C之上时,
四边形ODEF的周长=2OD+2CE=2(﹣m2+3m﹣m2+3m+4)=﹣4m2+12m+16,不是常数;
②当点P在点C之下时,
四边形ODEF的周长=2OD+2CE=2(m2﹣3m﹣m2+3m+4)=8,是常数;
即m>3或m<0,四边形ODEF的周长不变.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值.
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【题目】如图,反比例函数(x>0)经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC,AO,BO.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若∠ACB=45°,求直线AB的解析式;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,与轴交于点,.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)将以每秒一个单位的速度沿轴向右平移,平移时间为秒,平移后的与重叠部分的面积为,与重合时停止平移,求与的函数关系式;
(3)点在轴上,连接,点关于直线的对称点为,若点落在这个抛物线的对称轴上,请直接写出所有符合条件的点的坐标.
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【题目】为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息解答下列问题:
本次调查的学生共有______人,在扇形统计图中,m的值是______.
分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数,并将条形统计图补充完整.
该校共有学生2000人,估计该校约有多少人选修乐器课程?
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【题目】如图,直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图形交于A(a,4)和B(4,1)两点
(1)求b,k的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围;
(3)将直线y=﹣x+b向下平移m个单位,当直线与双曲线没有交点时,求m的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,E.F分别是边AD、BC的中点,点G在CD上.且,DF、EG相交于点H.
(1)求出的值;
(2)求证:EG⊥DF;
(3)过点H作MN∥CD,分别交AD、BC于点M、N,点P是MN上一点,当点P在什么位置时,△PDC的周长最小,并求△PDC周长的最小值.
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【题目】 如图,在教学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC=22米,求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)
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