【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,E.F分别是边AD、BC的中点,点G在CD上.且,DF、EG相交于点H.
(1)求出的值;
(2)求证:EG⊥DF;
(3)过点H作MN∥CD,分别交AD、BC于点M、N,点P是MN上一点,当点P在什么位置时,△PDC的周长最小,并求△PDC周长的最小值.
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析,△PDC周长的最小值= .
【解析】
(1)根据题意求出DE、DG,根据勾股定理求出EG,计算即可;
(2)证明△EDG∽△DCF,根据相似三角形的性质得到∠DEG=∠CDF,根据垂直的定义证明结论;
(3)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,得到△PDC周长的最小值=CD+DK,根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可.
(1)解:∵E是边AD的中点,=,正方形ABCD的边长为a,
∴DE=AD=a,DG=DC=a,
由勾股定理得,EG= =a,
∴==;
(2)证明:=,=,
∴=,又∠EDG=∠DCF,
∴△EDG∽△DCF,
∴∠DEG=∠CDF,
∵∠EDG=90°,
∴∠DEG+∠DGE=90°,
∴∠GDH+∠DGE=90°,即∠DHG=90°,
∴EG⊥DF;
(3)解:作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=
由题意:CD=AD=a,
由(1)可知,ED=AE=a,DG=a,EG=a,
△DEG的面积=×EG×DH=×DG×DE,
DH==a,
∴EH==a,
∴HM= =a,
∴DM=CN=NK==a,
∴DK= =a,
则△PDC周长的最小值=CD+DK= a.
故答案为:(1) ;(2)见解析;(3)见解析,△PDC周长的最小值= .
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【题目】校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载,某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于24米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.
(1)求AB的长(结果保留根号);
(2)已知本路段对校车限速为45千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时1.5秒,这辆校车是否超速?说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)
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【题目】在平面直角坐标系中,若x轴上的点A与y轴上的点B同时在某函数的图象上则称△AOB为该函数图象的“截距三角形”,如图①,△AOB为直线l的“截距三角形”.
(1)某一次函数图象的“截距三角形”是等腰直角三角形,请写出一个符合条件的函数表达式(写出一个即可);
(2)如图②,若抛物线y=﹣x2+bx+c在第一象限的“截距三角形”与直线y=﹣x+4的“截距三角形”完全重合,求这条抛物线对应的函数表达式;
(3)如图③,在(2)的条件下,在第一象限的抛物线上任取一点P,过点P作x轴的平行线与抛物线在第一象限的“截距三角形”的直角边或直角边的延长线交于点D,与斜边或斜边的延长线交于点E,设点P的横坐标为m,线段DE的长度为d.求d与m之间的函数关系式;
(4)如图④,在(3)的条件下,过点E作EF∥y轴交x轴于点F.求四边形ODEF的周长不变时m的取值范围.
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【题目】中华文明,源远流长:中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 20 | 0.10 |
70≤x<80 | 30 | b |
80≤x<90 | a | 0.30 |
90≤x≤100 | 80 | 0.40 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a=______,b=______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在_____________分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
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【题目】如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中,点A、B、C均在网格线的交点上,
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′;
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1;
(3)在(2)的条件下,求线段BC扫过的面积(结果保留π).
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【题目】某校举行了”文明河南中小学生知识竞赛“活动,并随即抽查了部分同学的成绩,整理并制作成图表如下:
分数段 | 频数 | 频率 |
60≤x<70 | 30 | 0.1 |
70≤x<80 | 90 | n |
80≤x<90 | m | 0.4 |
90≤x≤100 | 60 | 0.2 |
请根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)请求出:m= ,n= ,抽查的总人数为 人;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)抽查成绩的中位数应落在 分数段内;
(4)如果比赛成绩在80分以上(含80分)为优秀,任意抽取一位同学,则成绩优秀的概率为多少?
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【题目】如图,一直线经过原点O,且与反比例函数y=(k>0)相交于点A、点B,过点A作AC⊥y轴,垂足为C,连接BC.若△ABC面积为8,则k=_____.
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【题目】北京时间3月30日18时许,四川省凉山州木里县雅春江镇立尔村发生森林火灾,导致30名救火队员牺牲,多地民众走上街头送别英雄,同时,许多社区在清明节前夕开展了“致敬英雄文明祭奠”倡导活动.据调查,人们最喜爱的文明祭奠方式有四类(A植树祭祀,B鮮花祭祀,C公墓祭祀,D社区公祭),并绘制了如下两个不完整的统计图,请根据图中的信息解答下列问题:
(1)本次一共调查了社区群众 名;
(2)补全条形统计图;并计算扇形统计图中“C公墓祭祀所对应的圆心角大小为 ;
(3)现有最喜爱A,B,C,D祭奠方式的群众各一人,居委会要从这四人中随机选取两人共同策划祭奠活动方案,请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D祭奠方式的两位群众的概率.
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【题目】国家医保局相关负责人3月25日表示,2019年底前我国将实现生育保险基金并入职工基本医疗保险基金,统一征缴,就是通常所说的“五险变四险”.传统的五险包括:养老保险、失业保险、医疗保险、工伤保险、生育保险.某单位从这五险中随机抽取两种,为员工提高保险比例,则正好抽中养老保险和医疗保险的概率是( )
A.B.C.D.
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