Question

如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：

连接OD，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOD=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OF，如图2所示：

∵OC=OF，∠C=60°，

∴△OCF是等边三角形，

∴CF=OC=BC=AB=2，

∵FH⊥BC，

∴∠FHC=90°，

∴FH=CF•sin∠C=2×=．