【题目】在矩形中,连结,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着的路径运动,运动时间为t(秒).过点E作于点F,在矩形的内部作正方形.
(1)如图,当时,
①若点H在的内部,连结、,求证:;
②当时,设正方形与的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式;
(2)当,时,若直线将矩形的面积分成1︰3两部分,求t的值.
【答案】(1)①证明见解析;②;(3)t的值为或或.
【解析】
(1)①如图1中,证明即可解决问题.
②分两种情形分别求解:如图1中,当时,重叠部分是正方形.如图2中,当时,重叠部分是五边形.
(2)分三种情形分别求解:①如图3﹣1中,延长交于M,当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分.②如图3﹣2中,延长交于M交的延长线于K,当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分.③如图3﹣3中,当点E在线段上时,延长交于M,交的延长线于N.当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分.
解:(1)①如图1中,
∵四边形是正方形,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴.
②如图1中,当时,重叠部分是正方形,.
如图2中,当时,重叠部分是五边形,.
综上所述,.
(2)如图3﹣1中,延长交于M,当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分.
∵,
∴,
∴,
∴.
如图3﹣2中,延长交于M交的延长线于K,当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分,易证,
∵,
∴,
∴,
∴.
如图3﹣3中,当点E在线段上时,延长交于M,交的延长线于N.当时,直线将矩形的面积分成1︰3两部分,易证.
在中,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
解得.
综上所述,满足条件的t的值为或或.
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【题目】箭头四角形,模型规律:如图1,延长CO交AB于点D,则.因为凹四边形ABOC形似箭头,其四角具有“”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用:
(1)直接应用:
①如图2, .
②如图3,的2等分线(即角平分线)交于点F,已知,则
③如图4,分别为的2019等分线.它们的交点从上到下依次为.已知,则 度
(2)拓展应用:如图5,在四边形ABCD中,.O是四边形ABCD内一点,且.求证:四边形OBCD是菱形.
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【题目】我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.
(1)已知凸五边形的各条边都相等.
①如图1,若,求证:五边形是正五边形;
②如图2,若,请判断五边形是不是正五边形,并说明理由:
(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写“真”或“假”)
如图3,已知凸六边形的各条边都相等.
①若,则六边形是正六边形;( )
②若,则六边形是正六边形. ( )
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【题目】如图,顶点为的二次函数图象与x轴交于点,点B在该图象上,交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接、.
(1)求该二次函数的关系式.
(2)若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:
①连接,当时,请判断的形状,并求出此时点B的坐标.
②求证:.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点(2,3),对称轴为直线x =1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(, ),B(, ),其中, ,与y轴交于点C,求BCAC的值;
(3)将抛物线向上或向下平移,使新抛物线的顶点落在x轴上,原抛物线上一点P平移后对应点为点Q,如果OP=OQ,直接写出点Q的坐标.
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【题目】如图,一次函数(k1、b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于点A(m,8)与点B(4,2).
①求一次函数与反比例函数的解析式.
②根据图象说明,当x为何值时,.
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【题目】如图是一个儿童游乐场所,由于周末小朋友较多,老板计划将场地扩建,扩建前平面图为△ABC,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,扩建后顶点D在BA的延长线上,且∠BDC=90°,求扩建后AB边增加部分AD的长.(结果精确到0.1米.参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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【题目】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.
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【题目】如图,∠BAC的平分线交AABC的外接圆于点D,交BC于点F,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:DE=DB.
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径;
(3)若BD=6,DF=4,求AD的长
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