Question

16．如图，BC为⊙O的直径，D，A是⊙O上两点，延长DA交CB延长线于点P，连接CD，AB．
（1）求证：△PAB∽△PCD．
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得到∠PAB=∠C，由AA可以判定△PAB∽△PCD．
（2）作DF⊥PC垂足为F，连接BD，在RT△BCD中，求出BD，DF，在RT△PDF中求出PD，再由△PAB∽△PCD得$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}$即可解决．

解答 （1）证明：∵∠P=∠P，∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCD．
（2）解：作DF⊥PC垂足为F，连接BD，
∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，
∵CD=3，BC=4，
∴DB=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵$\frac{1}{2}$•BC•DF=$\frac{1}{2}$•CD•BD，
∴DF=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{7}{4}$，
∴PF=PB+BF=2+$\frac{7}{4}$=$\frac{15}{4}$，
在RT△PDF中，PD=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵△PAB∽△PCD，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PA}{6}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
∴PA=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理圆内接四边形的性质等知识，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，熟练直角三角形斜边上的高的求法，属于中考常考题型．