【题目】已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标,并判断△BCD的形状.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)C(3,0),D(1,-4),△BCD是直角三角形.
【解析】
(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先解方程求出抛物线与x轴的交点,再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形,从而得到结论.
(1)∵x2+4x+3=0,∴x1=﹣1,x2=﹣3.
∵m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3.
∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),∴,∴,∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,∴x1=﹣1,x2=3,∴C(3,0).
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点坐标D(1,﹣4).
过点D作DE⊥y轴.
∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD是直角三角形.
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【题目】如图,(n+1)个边长为2的等边三角形△B1AC1,△B2C1C2、△B2C2C3,…,△Bn+1CnCn+1有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,△B4D3C3的面积为S3,…,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则S2016=___.
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm. 射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)填空:当t为_________s时,四边形ACFE是菱形;
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【题目】已知抛物线C1:y1=a(x﹣h)2+2,直线1:y2=kx﹣kh+2(k≠0).
(1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;
(2)若a>0,h=1,当t≤x≤t+3时,二次函数y1=a(x﹣h)2+2的最小值为2,求t的取值范围.
(3)点P为抛物线的顶点,Q为抛物线与直线l的另一个交点,当1≤k≤3时,若线段PQ(不含端点P,Q)上至少存在一个横坐标为整数的点,求a的取值范围.
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【题目】八(2)班组织了一次经典诵读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表(10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲队成绩的中位数是 分,乙队成绩的众数是 分;
(2)计算乙队的平均成绩和方差;
(3)已知甲队成绩的方差是1.4,则成绩较为整齐的是 队.
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【题目】如图,中,,,.点从点 出发,沿着运动,速度为个单位/,在点运动的过程中,以为圆心的圆始终与斜边相切,设⊙的面积为,点的运动时间为()().
(1)当时, ;(用含的式子表示)
(2)求与的函数表达式;
(3)在⊙P运动过程中,当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时,直接写出t的值.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线y=x+m与这个新图象有四个交点时,m的取值范围是_____.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,
(1)求直线的函数解析式;
(2)如图2,点在线段(不包括,两点)上,连接与轴交于点,连接.、的垂直平分线交于点,连接并延长到点,使,作轴于,连结.求证:;
(3)在(2)的条件下,当的边时,求点的坐标.
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