Question

如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，⊙O为△APD
的外接圆．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=8，tan∠DAC=21，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,菱形的性质,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）连结OA、OP，设OP与AD交于点H，如图，由PA=PD得PA弧=PD弧，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，则∠AHP=90°，再根据菱形的性质得∠DAC=∠BAC，
而∠OAP=∠OPA，则∠OAB=∠OAP+∠BAC=∠OPA+∠DAP=90°，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD交AC于点E，如图，设⊙O的半径为r，根据菱形的性质得AC⊥BD，AE=

1

2

AC=4，在Rt△ADE中，利用正切的定义得tan∠DAE=

DE

AE

=

1

2

，则DE=2，
再利用勾股定理计算出AD=2

5

，根据垂径定理由OP⊥AD得AH=DH=

1

2

AD=

5

；在Rt△AHP中，再利用正切的定义得tan∠PAH=

PH

AH

=

1

2

，所以HP=

5

2

，然后再在Rt△AHO中，根据勾股定理得（

5

）²+（r-

1

2

5

）²=r²，然后解方程即可．

解答：解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：
连结OA、OP，设OP与AD交于点H，如图，
∵PA=PD，
∴PA弧=PD弧，
∴OP⊥AD，
∴∠AHP=90°
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
在Rt△AHP中，∵∠DAP+∠OPA=90°，
∴∠OAB=∠OAP+∠BAC=∠OPA+∠DAP=90°，
即OA⊥AB，
∵点A在⊙O上，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD交AC于点E，如图，设⊙O的半径为r，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=

1

2

AC=4，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=

DE

AE

=

1

2

，
∴DE=2，
∴AD=

AE2+DE2

=

22+42

=2

5

，
∵OP⊥AD，
∴AH=DH=

1

2

AD=

5

，
在Rt△AHP中，tan∠PAH=

PH

AH

=

1

2

，
∴HP=

5

2

，
在Rt△AHO中，∵AH²+OH²=OA²，
∴（

5

）²+（r-

1

2

5

）²=r²，
解得r=

5

4

5

，
即⊙O的半径为

5 5

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形．