Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，边AC在直线l上，点F是直线l上的一个动点，过点B的⊙O与直线l相切于点F．设CF=x，⊙O的半径为y．
（1）用x的代数式表示y；
（2）点F在运动的过程中，是否存在这样的x，使⊙O与△ABC的两边所在直线同时相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：：（1）连接OB，OF，作OD⊥BC于D，如图1，在△ACB，利用勾股定理计算出AB=5，根据切线的性质由过点B的⊙O与直线l相切于点F得到OF⊥l，则可判断四边形OFCD为矩形，所以OD=CF=x，DC=OF=y，则BD=BC-DC=3-y，在Rt△OBD中，利用勾股定理得（3-y）²+x²=y²，变形得到y=

1

6

x²+

3

2

；
（2）分类讨论：当⊙O与直线AB相切于B点，如图2，连接OB，OF，作OD⊥BC于D，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用等角的余角相等得∠ABC=∠DOB，然后根据相似三角形的判定方法得到Rt△ACB∽Rt△BDO，利用相似比得y=

5

3

x，由于y=

1

6

x²+

3

2

，则

1

6

x²+

3

2

=

5

3

x，整理得x²-10x+9=0，解方程得到x₁=1，x₂=9；
当⊙O与直线BC相切于B点，如图3，连接OB、OF，根据切线长定理易得x=3．

解答：解：（1）连接OB，OF，作OD⊥BC于D，如图1，
在△ABC中，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∵过点B的⊙O与直线l相切于点F，
∴OF⊥l，
∴四边形OFCD为矩形，
∴OD=CF=x，DC=OF=y，
∴BD=BC-DC=3-y，
在Rt△OBD中，OB=y，
∵BD²+OD²=OB²，
∴（3-y）²+x²=y²，
∴y=

1

6

x²+

3

2

；
（2）存在．
当⊙O与直线AB相切于B点，如图2，
连接OB，OF，作OD⊥BC于D，
∵AB与⊙O相切于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，即∠ABC+∠DBO=90°，
而∠DBO+∠DOB=90°，
∴∠ABC=∠DOB，
∴Rt△ACB∽Rt△BDO，
∴

AB

OB

=

BC

OD

，即

5

y

=

3

x

，
∴y=

5

3

x，
∵y=

1

6

x²+

3

2

，
∴

1

6

x²+

3

2

=

5

3

x，
整理得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9，
当⊙O与直线BC相切于B点，如图3，连接OB、OF，
∵BC与⊙O相切于B点，
而⊙O与直线l相切于点F，
∴CB=CF，
∴x=3，
综上所述，满足条件的x的值为1，3，9．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质定理、切线长定理；会运用勾股定理和三角形的相似比进行几何计算．