【题目】△ABC和△CDE是以C为公共顶点的两个三角形.
(1)如图1,当△ABC和△CDE都是等边三角形时,连接BD、AE相交于点P.求∠DPE的度数;
(2)如图2,当△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°时,连接AD、BE,Q为AD中点,连接QC并延长交BE于K.求证:QK⊥BE;
(3)在(1)的条件下,N是线段AE与CD的交点,PF是∠DPE的平分线,与DC交于点F,CN=2,∠PFN=45°,求FN的长.
【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)只要证明△BCD≌△ACE,可得∠BDC=∠AEC,利用“8字型”证明∠DPJ=∠JCE=60°即可;
·(2)如图2中,延长CQ到R,使得CQ=QR,连接AR、DR.只要证明△ACR≌△BCE,可得∠ACR=∠CBE,由∠ACR+∠BCK=90°,推出∠CBE+∠BCK=90°,,可得∠CKB=90°,即CK⊥BE.
(3)如图3中,作NH⊥EC于H,NG⊥PF于G,在EH上取一点K使得KN=KE.提供解直角三角形求出CE、DE、NE,再利用相似三角形的性质可得DE2=NE·PE,求出PE、PN,由此即可解决问题;
解:(1)如图1中,设AE交CD于J.
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴CB=CA,CD=CE,∠BCA=∠DCE,
∴BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠BDC=∠AEC,
∵∠PJD=∠CJE,
∴∠DPJ=∠JCE=60°,
∴∠DPE=60°.
(2)如图2中,延长CQ到R,使得CQ=QR,连接AR、DR.
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,CE=CD,
∴∠BCE+∠ACD=180°,
∵AQ=DQ,CQ=QR,
∴四边形ACDR是平行四边形,
∴AR=CD=CE,AR∥CD,
∴∠CAR+∠ACD=180°,
∴∠BCE=∠CAR,∵CA=CB,AR=CE,
∴△ACR≌△BCE,
∴∠ACR=∠CBE,
∵∠ACR+∠BCK=90°,
∴∠CBE+∠BCK=90°,
∴∠CKB=90°,即CK⊥BE.
(3)如图3中,作NH⊥EC于H,NG⊥PF于G,在EH上取一点K使得NK=EK.
∵∠DPE=60°,PF平分∠DPE,
∴∠NPPF=30°,
∵∠PFN=45°,∠NGF=90°,
∴GF=GN=PN,FN=GN,
∴∠PNF=∠CNE=105°,∠CEN=15°,
∵KN=KE,
∴∠KNE=∠KEN=15°,
∴∠NKH=30°,
在Rt△CNH中,∵CN=2,∠CNH=30°,
∴CH=CN=,NH=CH=,
在Rt△NKH中,NK=KE=2NH=2,HK=NH=3,
∴EN===6+2,CE=DE=4+2
∵∠DEN=∠PED,∠EDN=∠EPD,
∴△DEN∽△PED,
∴DE2=NEPE,
∴可得PE=,PN=PE﹣EN=,
∴FN=××=.
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【题目】补全证明过程
已知:如图,∠1=∠2,∠C=∠D。
求证:∠A=∠F。
证明:∵∠1=∠2(已知),
又∠1=∠DMN(___________________),
∴∠2=∠_________(等量代换)。
∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行)。
∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)。
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【题目】开通了,中国联通公布了资费标准,其中包月元时,超出部分国内拨打元/分.由于业务多,小明的爸爸打电话已超出了包月费.下表是超出部分国内拨打的收费标准.
时间/分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
电话费/元 | 0.36 | 0.72 | 1.08 | 1.44 | 1.80 | … |
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)如果用表示超出时间,表示超出部分的电话费,那么与的关系式是什么?
(3)如果打电话超出分钟,需多付多少电话费?
(4)某次打电话的费用超出部分是元,那么小明的爸爸打电话超出几分钟?
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【题目】如图,在中,,,是的平分线,折叠使得点落在边上的处,连接、.下列结论:①;②是等腰三角形;③;④.其中正确的结论是______.(填写序号)
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【题目】如图,在中,,是中线,作关于的轴对称图形.
(1)直接写出和的位置关系;
(2)连接,写出和的数量关系,并说明理由;
(3)当,时,在上找一点,使得点到点与到点的距离之和最下小,求的面积.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=6cm,∠A=60°,点E以1cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动,同时点F以2cm/s的速度沿CB边由C向B运动,F到达点B时两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当△DEF为等边三角形时,t的值为_________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,过F作FH⊥BC于H,交BE于G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积.
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