Question

11．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．
（1）如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=$\sqrt{2}$AB；
（2）如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；
（3）如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2$\sqrt{5}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图①中作DM⊥AC于M，DN⊥CB于N，连接AD，因为AD=$\sqrt{2}$AB，欲证明CD=$\sqrt{2}$AB，只要证明AD=CD即可，可以通过证明四边形MCND是矩形，得DN=CM=BC=AM，又DM⊥AC由此可以得到证明．
（2））如图②中作DM⊥CA于M，由△MAD≌△CBA得AM=BC=1，DM=AC=2BC=2，在RT△CDM中利用勾股定理即可．
（3）如图③中作DN⊥AC于N，DM⊥CB于M，只要证明△ADN≌△BDM，四边形NCMD是正方形，求出正方形边长即可解决．

解答 （1）证明：如图①中，作DM⊥AC于M，DN⊥CB于N，连接AD．
∵∠ABD=90°，∠ACB=∠DNC=90°，
∴∠ABC+∠DBN=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠DBN，
在△ACB和△BND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DNB}\\{∠CAB=∠DBN}\\{AB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△BND，
∴BC=DN，
∵∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形MCND是矩形，
∴MC=DN=BC，
∵AC=2BC，
∴AM=CM=BC，∵DM⊥AC，
∴DA=DC，
∵∠ABD=90°，AB=DB，
∴AD=$\sqrt{2}$AB，
∴CD=$\sqrt{2}$AB．
（2）如图②中，作DM⊥CA于M，
∵∠DAB=∠DMA=∠ACB=90°，
∴∠MAD+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠MAD=∠ABC，
在△MAD和△CBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠ACB}\\{∠MAD=∠ABC}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△CBA，
∴AM=BC=1，DM=AC=2BC=2，
在RT△CMD中，∵CM=AC+AM=3，MD=1，
∴CD=$\sqrt{C{M}^{2}+M{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
（3）如图③中，作DN⊥AC于N，DM⊥CB于M．
在RT△ABC中，∵AC=2BC，AB=2$\sqrt{5}$，设BC=a，则AC=2a，
∴a²+4a²=20
∵a＞0，
∴a=2，
∴BC=2，AC=4，
∵∠NCM=∠DNC=∠DMC=90°，
∴四边形NCMD是矩形，
∴∠MDN=∠ADB=90°，
∴∠ADN=∠BDM，
在△ADN和△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AND=∠DMB}\\{∠ADN=∠BDM}\\{DA=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BDM，
∴DM=DN，
∴四边形NCMD是正方形，
∴CN=CM=DM=DN，设CN=CM=DM=DN=x，
∴AC-AN=BC+BM，
∴4-x=2+x，
∴x=1，
∴CM=DM=3，
在RT△CDM中，CD=$\sqrt{C{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形和正方形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于参考常考题型．