Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-1，0），AE=4．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，根据垂径定理可以得出弧AC=弧AD，结合C为弧AE的中点，可以推出弧CD=弧AE，进而求解；
（2）连接MC，根据垂径定理，推出MC⊥AE，结合AE=CD，推出MG平分∠OMC，再根据三角形外角的性质，即可得出∠OMG=∠OBC，进而得出结论．

解答 解：（1）如图1，

∵AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，OC=OD
∵弧AC=弧CE，
∴弧CD=弧AE，
∴CD=AE=4，
∴OC=OD=2，
∴点C的坐标为（0，2）
（2）如图2，

连接MC，交AE于H．
∵C为弧AE的中点，
∴MC⊥AE，
又∵MO⊥CD，AE=CD，
∴MH=MO，
在Rt△OMG和Rt△HMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{MH=MO}\\{MG=MG}\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△HMG，
∴∠OMG=∠HMG=$\frac{1}{2}$∠OMC，
∵MC=MB，
∴∠B=∠BCM，
∵∠OMC=∠B+∠BCM，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠OMC，
∴∠OMG=∠B，
∴MG∥BC．

点评 此题主要考查圆的综合问题，会灵活运用垂径定理，会构造全等三角形，熟悉三角形外角性质和平行线的判定是解题的关键．