Question

3．如图，抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，-2$\sqrt{3}$），且抛物线对称轴x=-2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．
（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y₁上？请说明理由．
（3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE-PF|最大？若存在，试写出|PE-PF|最大值．

Answer 1

分析 （1）先由抛物线对称轴方程可求出b=2，再把点C（0，-2$\sqrt{3}$）代入y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得c=2$\sqrt{3}$，所以抛物线解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$；
（2）过O′点作O′H⊥x轴于H，如图1，由（1）得D（-2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），在Rt△OCD中利用三角函数可计算出∠ODC=60°，再利用折叠的性质得O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，所以∠O′DH=60°，接着在Rt△O′DH中利用三角函数可计算出O′H=$\sqrt{3}$，利用勾股定理计算出DH=1，则O′（-3，-$\sqrt{3}$），然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断O′点是否在抛物线y₁上；
（3）①利用二次函数图象上点的坐标特征设E（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）（m＜0），过E作EH⊥x轴于H，连结DE，如图2，则DH=-2-m，EH=-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$，由（2）得∠ODC=60°，再利用轴对称性质得DC平分∠EDE′，DE=DE′，则∠EDE′=120°，所以∠EDH=60°，于是在Rt△EDH中利用三角函数的定义可得-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$=（-2-m）•$\sqrt{3}$，解得m₁=2$\sqrt{3}$（舍去），m₂=-4，则E（-4，-2$\sqrt{3}$），接着计算出DE=4，所以DE′=4，于是得到E′（2，0），然后计算x=2时得函数值即可得到F点坐标；
②由于点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，则PE=PE′，根据三角形三边的关系得|PE′-PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），于是可判断直线CD上存在点P，使|PE-PF|最大，最大值为6-2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵抛物线对称轴x=-2，
∴-$\frac{b}{2×\frac{1}{2}}$=-2，
解得b=2，
∵点C（0，-2$\sqrt{3}$）在抛物线y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴c=2$\sqrt{3}$，
∴抛物线解析式为y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$；
（2）O点对称点O′不在抛物线y₁上．理由如下：
过O′点作O′H⊥x轴于H，如图1，由（1）得D（-2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），
在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ODC=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ODC=60°，
∵△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′，
∴O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，
∴∠O′DH=60°，
在Rt△O′DH中，sin∠O′DH=$\frac{O′H}{O′D}$，
∴O′H=2sin60°=$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴O′（-3，-$\sqrt{3}$），
∵当x=-3时，y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×9+2×（-3）-2$\sqrt{3}$≠-$\sqrt{3}$，
∴O′点不在抛物线y₁上；
（3）①设E（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）（m＜0），
过E作EH⊥x轴于H，连结DE，如图2，则DH=-2-m，EH=-（$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）=-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$，
由（2）得∠ODC=60°，
∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，
∴DC垂直平分EE′，
∴DC平分∠EDE′，DE=DE′，
∴∠EDE′=120°，
∴∠EDH=60°，
在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=$\frac{EH}{HD}$，
∴EH=HDtan60°，即-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$=（-2-m）•$\sqrt{3}$，
整理得m²+（4+2$\sqrt{3}$）m-8$\sqrt{3}$=0，解得m₁=2$\sqrt{3}$（舍去），m₂=-4，
∴E（-4，-2$\sqrt{3}$），
∴HD=2，EH=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴DE′=4，
∴E′（2，0），
而E′F⊥x轴，
∴F点的横坐标为2，
当x=2时，y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$=6-2$\sqrt{3}$，
∴F（2，6-2$\sqrt{3}$）；
②∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，
∴PE=PE′，
∴|PE′-PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），
∴直线CD上存在点P，使|PE-PF|最大，最大值为6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会运用三角函数进行几何计算；理解坐标与图形性质．