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【题目】如图,抛物线yax2+2ax3aa≠0)与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,且OA=OC,直线y=﹣x与该抛物线交于EF两点.

1)求抛物线的解析式.

2P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PHEF于点H,求PH的最大值.

3)以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点D,使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形?若存在,直接写出D点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2+2x3;(2;(3)点D的坐标为()或()或(1,﹣3)或().

【解析】

1)令x0,则y=﹣3a,可知点C0,﹣3a),继而知点A的坐标,根据抛物线yax2+2ax3aa≠0)与x轴交于AB两点可知,ax2+2ax3a=0,解方程可得点AB的坐标,继而求出a的值及抛物线解析式;

2)过点PPMy轴交直线EF于点M,设点P,点M,则PH,将表达式配成顶点式即可得出答案;

3)分∠BCD90°、∠CDB90°两种情况,作出图形分别求解即可.

1)令x0,则y=﹣3a,可知点C0,﹣3a),

OAOC

∴点A(﹣3a0),

,即

解得:x1=﹣3x21

∴点A(﹣30),B10

∴﹣3a=﹣3

a1

∴抛物线的解析式yx2+2x3

2)过点PPNy轴交直线EF于点N

∵直线EF的解析式为y=﹣x

∴∠NOA45°,

∴∠PNH45°

设点P,点N

PH

x时,PH的值最大为

3)当∠BCD90°时,如图2左侧图所示,

当点DBC的右侧时,

过点DDMy轴于点M,则CDOB1OC3

tanBCOtanCDM

xDCD,同理yD

故点D);

同理当点DBC的左侧时,点D的坐标();

当∠CDB90°时,如图2右侧图所示,

当点DBC的右侧时,

CDOB1,则点D1,﹣3),

当点DBC的左侧时,由点的对称性,同理可得:点D);

综上所述,点D的坐标为()或()或(1,﹣3)或().

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下面是轩轩的探究过程,请补充完整:

1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了xy的几组值,结果如表:

x/cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

y/cm2

0

1.25

2.45

3.58

4.57

5.41

6.25

4.91

0

该函数的表达式为__________,自变量x的取值范围为___________

2)在右图中建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象.

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