Question

11．已知关于x的二次函数y₁=x²-（m+3）x+m+2，y₂=-x²+bx+c．
（1）求证：方程x²-（m+3）x+m+2=0必有实根；
（2）若m为整数，y₁的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；
（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y₁＜y₂，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式即可得出结论；
（2）根据y₁的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7可知当x=5时，y₁＜0，当x=7时，y₁＞0求出m的取值范围，再由m为整数即可求出m的值；
（3）先求出当x=3，x=4时y₁的值，再由y₂也经过此点即可得出结论．

解答 解：（1）∵△=[-（m+3）]²-4（m+2）=（m+1）²≥0，
∴方程x²-（m+3）x+m+2=0必有实根；

（2）∵y₁的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，且抛物线开口向上，
∴f（5）＜0，f（7）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}25-5（m+3）+m+2＜0\\ 49-7（m+3）+m+2＜0\end{array}\right.$，解得3＜m＜5．
∵m为整数，
∴m=4；

（3）∵由（2）知，m=4，
∴关于x的二次函数y₁=x²-（m+3）x+m+2可化为y₁=x²-7x+6，
∴当x=3时，y₁=-6；当x=4时，y₁=-6．
∵二次函数y₂=-x²+bx+c经过（3，-6），（4，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6=-{3}^{2}+3b+c}\\{-6=-{4}^{2}+4b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{c=-18}\end{array}\right.$，
∴y₂的解析式为y₂=-x²+7x-18．

点评 本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．