Question

6．如图，直线l₁的解析式为y=-2x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A（4，0）、B（3，-1），直线l₁、l₂交于点C．
（1）点D的坐标：（$\frac{3}{2}$，0）；（直接写出结果）
（2）△ADC的面积为：$\frac{25}{12}$；（直接写出结果）
（3）试问在y轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
（4）试问：在直线l₁上是否存在一点Q，使得△BCD的面积等于△ACQ的面积$\frac{1}{5}$？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由l₁的解析式y=-2x+3可求得D点坐标；
（2）由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式，联立两直线解析式可求得C点坐标，则可求得△ADC的面积；
（3）可找A点关于y轴的对称点为A′，连接A′C交y轴于点P，则P点即为满足条件的点，再利用勾股定理可求得△PAC的周长；
（4）可先求得△BCD的面积，可得出△ACQ的面积，可设出Q点的坐标，当点Q在点C下方时，则有S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，当点Q在点D的上方时，则有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，可得到点Q坐标的方程，可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）在y=-2x+3中，令y=0可得-2x+3=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
故答案为：（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）设直线l₂的解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=x-4，
联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{7}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
∵A（4，0），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴AD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{12}$，
故答案为：$\frac{25}{12}$；
（3）设A点关于y轴的对称点为A′，如图1，连接A′C交y轴于点P，

则PA′=PA，
∴PA+PC=PA′+PC，此时A′、P、C三点在一条直线上，
∴PA+PC最小，
∵A（4，0），
∴A′（-4，0），
设直线A′C的解析式为y=mx+n，
把A′、C的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{\frac{7}{3}m+n=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{19}}\\{n=-\frac{20}{19}}\end{array}\right.$，
∴直线A′C的解析式为y=-$\frac{5}{19}$x-$\frac{20}{19}$，
∴P点坐标为（0，-$\frac{20}{19}$），
此时A′C=$\sqrt{（\frac{7}{3}+4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{386}}{3}$，AC=$\sqrt{（\frac{7}{3}-4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴PA+PC+AC=A′C+AC=$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$，即△PAC的周长的最小值为$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$；
（4）由（2）可知AD=$\frac{5}{2}$，且B（3，-1），
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=$\frac{5}{4}$，
∴S_△BCD=S_△ACD-S_△ABD=$\frac{25}{12}$-$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{6}$，
∵△BCD的面积等于△ACQ的面积$\frac{1}{5}$，
∴S_△ACQ=$\frac{25}{6}$，
设Q点坐标为（t，-2t+3），
当点Q在点C下方时，如图2，

则S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（2t-3）-$\frac{25}{12}$，解得t=4，此时Q点坐标为（4，-5）；
当点Q在点D的上方时，如图3，

则有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（-2t+3）+$\frac{25}{12}$，解得t=$\frac{2}{3}$，此时Q点的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（4，-5）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、函数图象的交点、轴对称的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出点P的位置是解题的关键，在（4）中用Q的坐标表示出△ACQ的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大．