Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E．

（1）求证：点E是边BC的中点；

（2）求证：BC2=BDBA；

（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题（1）利用切线的性质及圆周角定理证明；

（2）利用相似三角形证明；

（3）利用正方形的性质证明．

试题解析：（1）如图，连接OD．

∵DE为切线，

∴∠EDC+∠ODC=90°；

∵∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠OCD=90°．

又∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠EDC=∠ECD，

∴ED=EC；

∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，

∴∠B=∠BDE，

∴ED=BE．

∴EB=EC，即点E为边BC的中点；

（2）∵AC为直径，

∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，

又∵∠B=∠B

∴△ABC∽△CDB，

∴

∴BC2=BDBA；

（3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD=45°；

∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°

∴Rt△ABC为等腰直角三角形．