Question

9．如图，点P是抛物线y=x²在第一象限内的一个点，点A的坐标是（3，0）．
（1）令点P的坐标为（x，y），求△POA的面积S （用含y的式子表示）．
（2）S是y的什么函数？
（3）S是x的什么函数？
（4）当S=6时，求点P的坐标．
（5）当PO=PA时，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先用x表示出点P的纵坐标，然后利用三角形的面积计算方法确定△AOP的面积S与y的关系式即可；
（2）利用一次函数的定义写出即可；
（3）理由二次函数的定义写出即可；
（4）代入（1）中函数解析式得出答案即可；
（5）当PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，也就是P点的横坐标为$\frac{3}{2}$，代入函数解析式求得纵坐标即可即可．

解答 解：（1）∵点P是抛物线y=x²上位于第一象限内一点，点A（3，0），设点P的坐标为（x，y）（x＞0）．
∴OA=3，△AOP的高为y=x²，
∴△AOP的面积S与y的关系式为：S=$\frac{1}{2}$×3×y=$\frac{3}{2}$y；
（2）S是y的一次函数；
（3）S是x的二次函数；
（4）当S=6时，y=4，x=±2，
∵P是抛物线y=x²在第一象限内的一个点，
∴点P的坐标为（2，4）；
（5）当PO=PA时，P点的横坐标为$\frac{3}{2}$，则纵坐标y=$\frac{9}{4}$，
点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标适合二次函数，以及待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．