Question

如图，二次函数y＝a(x²－2mx－3m²)（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

(1)用含m的代数式表示a.

(2)求证：为定值.

(3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：将点C（0，－3）的坐标代入二次函数y=a（x²－2mx－3m²），

则－3=a（0－0－3m²），

解得 a=.

（2）证明：如图，

过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，N．

由a（x²－2mx－3m²）=0，

解得 x₁=－m，x₂=3m，

∴ A（－m，0），B（3m，0）．

∵ CD∥AB，

∴ 点D的坐标为（2m，－3）．

∵ AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN.

∵ ∠DMA=∠ENA=90°，

∴ △ADM∽△AEN．

∴_.

设点E的坐标为 ，

∴=，

∴ x=4m，∴ E（4m，5）.

∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ ，即为定值．

（3）解：如图所示，

记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4），

过点F作FH⊥x轴于点H．

连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵ tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，

∴ OG=3m．

此时，GF===4，

AD===3，∴=．

由（2）得=，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，

∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，

此时点G的横坐标为3m．