【题目】如图,等边中,,点在上,,点从点出发,以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动,关于的轴对称图形为.
(1)当为何值时,点在线段上;
(2)当时,求与的数量关系;
(3)当点、、三点共线时,求证:点为线段的中点.
【答案】(1)1秒;(2)当0<t≤1时,∠BDF﹣∠AEF=120°;当1<t<4时,∠BDF+∠AEF=120°;(3)见解析
【解析】
(1)由折叠的性质可得DF=DC,EF=EC,可证△DCF是等边三角形,可求CE的长,即可求解;
(2)分两种情况讨论,由折叠的性质和四边形内角和定理可求解;
(3)过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明△BGD∽△BHE,可求EC的长,即可得结论.
(1)∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴DF=DC,EF=EC,且点F在AC上,∠C=60°,
∴△DCF是等边三角形,
∴CD=CF=AB﹣BD=2,
∴CE=1,
∴t==1s;
(2)如图1,当0<t≤1时,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠C+∠CDE+∠CED=180°,
∴∠C+∠F+∠CDE+∠EDF+∠CED+∠FED=360°,
∴∠CDF+180°+∠AEF=360°﹣120°
∴180°﹣∠BDF+180°+∠AEF=240°,
∴∠BDF﹣∠AEF=120°;
如图2,当1<t<4时,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE,
∴∠F=∠C=60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED,
∵∠FDC+∠C+∠F+∠CEF=360°,
∴180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF=360°,
∴∠BDF+∠AEF=120°;
(3)如图3,过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE
∴DF=DC=2,∠EFD=∠C=60°,EF=EC,
∵GD⊥EF,∠EFD=60°
∴FG=1,DG=FG=,
∵BD2=BG2+DG2,
∴16=3+(BF+1)2,
∴BF=﹣1
∴BG=,
∵EH⊥BC,∠C=60°
∴CH=,EH=HC=EC,
∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE=90°
∴△BGD∽△BHE,
∴,
∴,
∴EC=﹣1,
∴EC=EF=BF=﹣1,
∴点F是线段BE的中点.
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【题目】如图,中,,,点在线段上运动(点不与、重合),连接,作,交线段于
(1)当时, ;
(2)当等于多少度时,≌?请说明理由;
(3)能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出的度数;若不能,请说明理由
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【题目】如图,左右两幅图案关于y轴对称,右图案中的左右眼睛的坐标分别是(2,3),(4,3),嘴角左右端点的坐标分别是(2,1),(4,1).
(1)试确定左图案中的左右眼睛和嘴角左右端点的坐标;
(2)从对称的角度来考虑,说一说你是怎样得到的;
(3)直接写出右图案中的嘴角左右端点关于原点的对称点的坐标.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(﹣1,2).
(1)将△ABC向右平移4个单位,画出平移后的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;
(3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3;
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【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线为抛物线、b、c为常数,的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点点A在点B的左侧,与x轴负半轴交于点C.
填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为______,点A的坐标为______,点B的坐标为______;
如图,点M为线段CB上一动点,将以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知点A,B在半径为1的⊙O上,∠AOB=60°,延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是( )
A. 当BC等于0.5时,l与⊙O相离
B. 当BC等于2时,l与⊙O相切
C. 当BC等于1时,l与⊙O相交
D. 当BC不为1时,l与⊙O不相切
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【题目】甲乙两车从A地驶向B地,甲车比乙车早出发2h,并且甲车在途中休息了0.5h,甲、乙两车离A地的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.根据图象提供的信息,下列说法:
①乙车速度比甲车慢;②a=40;③乙车比甲车早1.75小时到达B地.
其中正确的有( )
A.0个B.2个C.1个D.3个
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【题目】如图,已知和均是等边三角形,点在同一条直线上,与交于点,与交于点,与交于点,连接,则下列结论:①;②;③﹔④,其中正确结论有_________个.
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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
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