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【题目】如图,等边中,,点上,,点从点出发,以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动,关于的轴对称图形为

1)当为何值时,点在线段上;

2)当时,求的数量关系;

3)当点三点共线时,求证:点为线段的中点.

【答案】11秒;(2)当0t≤1时,∠BDF﹣∠AEF120°;当1t4时,∠BDF+AEF120°;(3)见解析

【解析】

1)由折叠的性质可得DF=DCEF=EC,可证DCF是等边三角形,可求CE的长,即可求解;
2)分两种情况讨论,由折叠的性质和四边形内角和定理可求解;
3)过点DDGEF于点G,过点EEHCD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明BGD∽△BHE,可求EC的长,即可得结论.

1)∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C60°

∵△CDE关于DE的轴对称图形为FDE

DFDCEFEC,且点FAC上,∠C60°

∴△DCF是等边三角形,

CDCFABBD2

CE1

t1s

2)如图1,当0t≤1时,

∵△CDE关于DE的轴对称图形为FDE

∴∠F=∠C60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED

∵∠C+CDE+CED180°

∴∠C+F+CDE+EDF+CED+FED360°

∴∠CDF+180°+AEF360°120°

180°﹣∠BDF+180°+AEF240°

∴∠BDF﹣∠AEF120°

如图2,当1t4时,

∵△CDE关于DE的轴对称图形为FDE

∴∠F=∠C60°,∠FDE=∠CDE,∠CED=∠FED

∵∠FDC+C+F+CEF360°

180°﹣∠BDF+120°+180°﹣∠AEF360°

∴∠BDF+AEF120°

3)如图3,过点DDGEF于点G,过点EEHCD于点H

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE

DFDC2,∠EFD=∠C60°EFEC

GDEF,∠EFD60°

FG1DGFG

BD2BG2+DG2

163+BF+12

BF1

BG

EHBC,∠C60°

CHEHHCEC

∵∠GBD=∠EBH,∠BGD=∠BHE90°

∴△BGD∽△BHE

EC1

ECEFBF1

∴点F是线段BE的中点.

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