Question

已知如图，点D是△ABC边BC上一点，且BD：DC=2：3，过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证：

AE

ED

=

5AF

3BF

．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：过D点分别作DG∥AB，DH∥FC，由DG∥AB，根据平行线分线段成比例定理，得出比例式：

DG

BF

=

DC

BC

，由已知

BD

CD

=

2

3

，可得FH=

3

5

BF；由DH∥FC，根据平行线分线段成比例定理，得出比例式：

AE

ED

=

AF

DG

．进而得出答案．

解答：证明：过D点分别作DG∥AB，DH∥FC，
得到四边形DGFH是平行四边形，
∴DG=HF，
∵DG∥BF，
∴

DG

BF

=

DC

BC

，（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）
∵

BD

CD

=

2

3

，
∴

CD

BC

=

3

5

，
∴

DG

BF

=

3

5

，
设DG=3a，则FH=DG=3a，BF=5a，BH=2a，
∴FH=

3

5

BF，
∵DG∥AF，
∴

AE

ED

=

AF

DG

（如果一条直线截三角形的两边的延长线，所得的对应线段成比例），
∵DG=FH，
∴

AE

ED

=

AF

FH

，
∵FH=

3

5

BF，
∴

AE

ED

=

AF

3 5 BF

=

5AF

3BF

，
即

AE

ED

=

5AF

3BF

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．