Question

如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为

BD

的中点，连接CE交AB于点F，AF=AC．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=8，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接BE，如图，先根据圆周角定理由BC为直径得到∠BEC=90°，则∠EBF+∠EFB=90°，再由弧DE=弧BE得到∠EBD=∠BCE；由于AC=AF，则∠ACF=∠AFC，加上∠AFC=∠EFB，所以∠EFB=∠ACF，于是得到∠ACF+∠BCE=90°，则根据切线的判定定理即可得到直线AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AC=6，则AF=AC=6，BF=4，再证明Rt△EBF∽Rt△ECB，利用相似比得到BE=

1

2

CE，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理可计算出CE的长．

解答：（1）证明：连接BE，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBF+∠EFB=90°，
∵E为

BD

的中点，
∴弧DE=弧BE，
∴∠EBD=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
而∠AFC=∠EFB，
∴∠EFB=∠ACF，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴OC⊥AC，
∵AC经过○O的半径OC的外端点C，
∴直线AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC=

AB2-BC2

=6，
∴AF=AC=6，
∴BF=4，
∵∠EBF=∠ECB，
∴Rt△EBF∽Rt△ECB，
∴

BE

CE

=

BF

CB

=

4

8

=

1

2

，
∴BE=

1

2

CE，
在Rt△BCE中，
∵BE²+CE²=BC²，
∴

1

4

CE²+CE²=64，
∴CE=

16 5

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．