Question

4．E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}$；
（2）根据图形特点，猜想$\frac{BC}{DE}$可能等于哪两条线段的比（注：只需写出图中已有线段的一组比即可），证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由三角形外角的性质及条件可得到∠AEB=∠ADC，结合条件可得到∠EAB=∠DAC，∠AEB=∠ADC，得出△ADC∽△AEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）利用（1）的结论可证得△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得出$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC．
∴∠EAB=∠DAC①；
又∵∠AEB=∠DAE+∠BDA=∠BDC+∠BDA，
∴∠AEB=∠ADC②；
由①和②得△AEB∽△ADC．
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{AE}{AD}$；

（2）猜想：$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$或$\frac{BC}{DE}$=$\frac{AC}{AD}$．
证明：∵△AEB∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∵∠BAC=∠DAE，
∴△BAC∽△EAD．
∴$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的三边对应成比例、②两个三角形有两组角对应相等、③两个三角形的两组对边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似．