Question

【题目】等边三角形ABC的边长为4 cm，点D从点C出发沿CA向点A运动，点E从点B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D，E都以每秒 cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P.

(1).当点D，E运动多少秒后，△ADE为直角三角形?

(2)在点D，E运动时，线段PD与线段PE相等吗?如果相等，予以证明;如不相等，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相等，证明见解析.

【解析】

（1）设当点D，E运动秒后，△ADE为直角三角形，则，， ，，根据30°角的直角边＝斜边的一半建立方程，求出其解即可；
（2）作DG∥AB交BC于点E，证明△DGP≌△EBP，就可以得出PD＝PE．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．
设当点D，E运动秒后，△ADE为直角三角形，
∴∠ADE＝90°，，， ，，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD，
∴，
解得：；
答：当点D，E运动秒后，△ADE为直角三角形运动；
（2）线段PD与线段PE相等，证明如下：

证明：作DG∥AB交BC于点G，

∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，
∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，
∴△CDG是等边三角形，
∴DG＝DC，
∵DC＝BE，
∴DG＝BE．
在△DGP和△EBP中
，
∴△DGP≌△EBP（ASA），
∴PD＝PE．