Question

【题目】如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

（1）如图1，当BP＝　 　时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案）

（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明．

（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC2+AC2＝AB2）

Answer 1

【答案】（1）4；

（2）PB和PC的数量关系：PB＝PC，证明见解析；

（3）线段B′D的长度为5．

【解析】

（1）若△ADP是等腰直角三角形．则AP＝DP，必须要求△APB≌△PDC，则,所以BP＝4；

（2）延长线段AP、DC交于点E,则△DPA≌△DPE，PA＝PE，进一步可证明△APB≌△EPC，则PB＝PC；

（3）先按要求作出图形，然后将B′D放在直角三角形中，利用勾股定理求出B′D的长度.

解：（1）当BP＝4时，CP＝BC﹣BP＝5＝4＝1，

∵AB＝1，

∴AB＝PC，

∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC，

∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°＝∠PDC+∠DPC，

∴∠APB＝∠PDC，

在△APB和△PDC中，

∴△APB≌△PDC（AAS），

∴AP＝DP，

又∵∠APD＝90°，

∴△ADP是等腰直角三角形，

故答案为：4；

（2）PB和PC的数量关系：PB＝PC，

证明：如图2，延长线段AP、DC交于点E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°．

在△DPA和△DPE中，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝90°．

在△APB和△EPC中，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC＝∠C＝90°，

∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，

又∵DP⊥AP，

∴∠APB＝45°，

∵点B关于AP的对称点为点B′，

∴∠BPB'＝90°，∠APB＝45°，BP＝B'P，

∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，

∴BP＝AB＝1＝B'P，PC＝5＝1＝4＝B'F，CF＝B'P＝1，

∴B'F＝4，DF＝4﹣1＝3，

∴Rt△B'FD中，B'D＝ ＝5，

故线段B′D的长度为5．