Question

【题目】已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．

Answer 1

【答案】64a

【解析】

根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．

∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．

∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．

又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．

∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．

∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．

故答案为：64a．