Question

【题目】已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在射线上，，

（1）如图1，若点与点重合，求证：．

（2）如图2，若点在线段上，点在线段上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）12.

【解析】

（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠P，即可得出DB＝DE；

（2）过点D作DH∥BC，交AB于点 H，证明△DQH≌△DPC（ASA），得出HQ＝CP，得出BQ＋BP＝BH＋HQ＋BP＝BH＋BP＋PC＝BH＋BC＝即可求解．

（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，

∴BA＝BC，∠ABC＝60，

∵D为AC的中点，

∴DB 平分∠ABC，

∴∠DBC＝30，

∵

∴∠P＝18012030＝30

∴∠DBC＝∠P，

∴DB＝DP

（2）过点D作DH∥BC，交AB于点 H，如图2所示：

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60，

∵DH∥BC，

∴∠AHD＝∠B＝60，∠ADH＝∠C＝60，

∴∠AHD＝∠ADH＝∠C＝60，∠HDC＝120，

∴△ADH 是等边三角形，

∴DH＝AD，

∵D为AC 的中点，

∴DA＝DC，

∴DH＝DC，

∵∠PDQ＝120，∠HDC＝120，

∴∠PDH＋∠QDH＝∠PDH＋∠CDP，

∴∠QDH＝∠CDP，

在△DQH 和△DPC 中，

，

∴△DQH≌△DPC，

∴HQ＝CP，

∴BQ＋BP＝BH＋HQ＋BP＝BH＋BP＋PC＝BH＋BC＝=12,

即=12.