Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE=ED，DF=

1

4

DC连结EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的边长为8，求BG的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）证明∠A=∠D=90°；证明

AE

DF

=

AB

DE

，结合∠A=∠D，得到△ABE∽△DEF．
（2）证明△DEF∽△CGF，得到

ED

CG

=

DF

CF

；结合DE=4，DF=

1

4

DC，求出CG的长度，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴

AE

AB

=

1

2

；
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

；
∴

AE

AB

=

DF

DE

，即

AE

DF

=

AB

DE

；
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

ED

CG

=

DF

CF

；
又∵DF=

1

4

DC，正方形的边长为8，
∴ED=4，CG=12，
∴BG=BC+CG=20．

点评：该题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点．