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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于E,交CA的延长线于F.求证:AD2=DEDF.

【答案】证明见解析

【解析】

利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质可以推导得出∠DAB=∠AFD,再结合∠ADE=FDA可得△ADE∽△FDA,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.

∵∠BAC=90°,

∴∠ABC+C=90°,∠EAF=180°-BAC=90°,

∴∠AEF+AFE=90°,

又∵BC的垂直平分线交BC于点D,

∴∠BDE=90°,

ABC+BED=90°,

BED=AEF,

ABC=AFE,

∵DBC中点BAC=90°,

ABC=DAE,

DAE=AFE,

又∵∠ADE=FDA,

∴△ADE∽△FDA,

AD:FD=DE:AD,

AD2=DEDF.

练习册系列答案
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