【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于D,交AB于E,交CA的延长线于F.求证:AD2=DEDF.
【答案】证明见解析
【解析】
利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质可以推导得出∠DAB=∠AFD,再结合∠ADE=∠FDA可得△ADE∽△FDA,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°,∠EAF=180°-∠BAC=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
又∵BC的垂直平分线交BC于点D,
∴∠BDE=90°,
∴∠ABC+∠BED=90°,
∵∠BED=∠AEF,
∴∠ABC=∠AFE,
∵D为BC中点,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠DAE,
∴∠DAE=∠AFE,
又∵∠ADE=∠FDA,
∴△ADE∽△FDA,
∴AD:FD=DE:AD,
∴AD2=DEDF.
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠ABC=120°,AC=4,
(1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求∠AOC的度数;
(3)求⊙O的半径.
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【题目】如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1) 求证:CF=AD;
(2) 若CA=CB,∠ACB=90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.
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【题目】已知反比例函数(k为常数,k≠1).
(Ⅰ)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值;
(Ⅱ)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围;
(Ⅲ)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】已知反比例函数(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).
(1)求这个函数的解析式;
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;
(3)当-3<x<-1时,求y的取值范围.
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【题目】矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为_____.
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