【题目】如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.
(1) 求证:CF=AD;
(2) 若CA=CB,∠ACB=90°,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.
【答案】见解析;正方形.
【解析】
试题(1)、根据CF∥AB可得∠CFE=∠DAE,∠FCE=∠ADE,根据E为中点可得CE=DE,则△ECF和△DEA全等,从而得出答案;(2)、根据AD=BD,则CF=BD,CF∥BD得出平行四边形,根据CD为AB边上的中线,CA=CB得出∠BDC=90°得出矩形,根据CD为等腰直角△ABC斜边上的中线得出CD=BD,即得到正方形.
试题解析:(1)、∵CF∥AB,∴∠CFE=∠DAE,∠FCE=∠ADE,∵E为CD的中点,∴CE=DE,
∴△ECF≌△DEA(AAS), ∴CF=AD,
(2)四边形CDBF为正方形,理由为:
∵AD=BD, ∴CF=BD; ∵CF=BD,CF∥BD,∴四边形CDBF为平行四边形,
∵CA=CB,CD为AB边上的中线,∴CD⊥AB,即∠BDC=90°,∴四边形CDBF为矩形,
∵等腰直角△ABC中,CD为斜边上的中线,∴CD=AB,即CD=BD,则四边形CDBF为正方形.
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【题目】袋子中装有3个带号码的球,球号分别是2,3,5,这些球除号码不同外其他均相同.
(1)从袋中随机摸出一个球,求恰好是3号球的概率;
(2)从袋中随机摸出一个球,再从剩下的球中随机摸出一个球,用树形图列出所有可能出现的结果,并求两次摸出球的号码之和为5的概率.
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【题目】如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中建立的直角坐标系,右面的一条抛物线的解析式为y=x2-4x+5表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称,则左面钢缆的表达式为_________________________________.
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【题目】如图1,为坐标原点,矩形的顶点,,将矩形绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到矩形,此时边、直线分别与直线交于点、.
(1)连接,在旋转过程中,当时,求点坐标.
(2)连接,当时,若为线段中点,求的面积.
(3)如图2,连接,以为斜边向上作等腰直角,请直接写出在旋转过程中的最小值.
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【题目】周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.
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【题目】(12分)如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:
(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);
(2)设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?
(3)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD为菱形,且(0,3)、(﹣4,0).
(1)求经过点的反比例函数的解析式;
(2)设是(1)中所求函数图象上一点,以顶点的三角形的面积与△COD的面积相等.求点P的坐标.
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【题目】如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(﹣1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.
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