【题目】已知在△ABC中,∠BAC=60°,点P为边BC的中点,分别以AB和AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE,且∠DAB=∠EAC=α,连结PD,PE,DE.
(1)如图1,若α=45°,则= ;
(2)如图2,若α为任意角度,求证:∠PDE=α;
(3)如图3,若α=15°,AB=8,AC=6,则△PDE的面积为 .
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1) 分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,证明AFPG为平行四边形,再证明△DFP和△PGE全等,再证明∠DPE=90°,最后得到△DEP是等腰直角三角形.
(2)类似(1)证明四边形AFPG为平行四边形,证明△DFP和△PGE全等,再证明∠DPE=180°﹣∠DFB,∠DFA=180°﹣∠DFB,所以∠DPE=∠DFA,所以等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中,∠PDE=∠DAF=α.
(3)同理(1)求出DP=EP长度,由(2)可得,∠PDE=α=15°=∠PED,过点E作DP的垂线,交DP的延长线于H,则∠EPH=30°,所以可求得EH= PE=
,所以可以得到△PDE的面积.
试题分析:
解:(1)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,AF=PG,AG=PF,即四边形AFPG为平行四边形,
∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,∵Rt△ABD和Rt△ACE中,∠DAB=∠EAC=α=45°,
∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴DF⊥AB,EG⊥AC,且DF=AF=PG,PF=AG=EG,∴∠DFP=∠PGE=150°,
在△DFP和△PGE中, ,
∴△DFP≌△PGE(SAS),
∴DP=PE,∠GPE=∠FDP,
∵△DPF中,∠FDP+∠DPF+∠PFB=90°,而∠PFB=∠FPG,
∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=90°,即∠DPE=90°,
∴△DEP是等腰直角三角形,∴.
(2)证明:分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,AF=PG,AG=PF,即四边形AFPG为平行四边形,
∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,∵Rt△ABD和Rt△ACE中,DF=AF,GE=AG,∴DF=PG,PF=EG,∠DFB=2∠DAF=2α,∠EGC=2∠CAE=2α,
∴∠DFP=∠PGE,在△DFP和△PGE中, ,
∴△DFP≌△PGE(SAS),∴DP=PE,∠GPE=∠FDP,
∵在△DFP中,∠FDP+∠DPF+∠PFB=180°﹣∠DFB,而∠PFB=∠FPG,∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=180°﹣∠DFB,即∠DPE=180°﹣∠DFB,
又∵∠DFA=180°﹣∠DFB,∴∠DPE=∠DFA,
∴在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中,∠PDE=∠DAF=α.
(3)分别取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线定理可得,AF=PG=4,AG=PF=3,即四边形AFPG为平行四边形,∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,
∵Rt△ABD和Rt△ACE中,DF=AF,GE=AG,∴DF=PG=4,PF=EG=3,∠DFB=2∠DAF=2α=30°,∠EGC=2∠CAE=2α=30°,∴∠DFP=∠PGE=90°,
∴DP=EP= =5,
由(2)可得,∠PDE=α=15°=∠PED,过点E作DP的垂线,交DP的延长线于H,则∠EPH=30°,∴EH= PE=
,∴△PDE的面积=
×DP×EH=
×5×
=
.
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【题目】某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”,从中抽取了部分学生的生物考试成绩,将他们的成绩进行统计后分为A,B,C,D四等,并将统计结果绘制成如下的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题
(1)抽取了______名学生成绩;(2)请把条形统计图补充完整;
(3)扇形统计图中等级D所在的扇形的圆心角度数是______;
(4)若A,B,C代表合格,该校初二年级有300名学生,求全年级生物合格的学生共约多少人
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【题目】在下列各组条件中,不能说明的是( )
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E
C.AC=DF,BC=EF,∠A=∠DD.AB=DE,BC=EF,AC=ED
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【题目】某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,随机抽取部分学生做了一次问卷调查,要求学生选出自己喜欢的一个版面,将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下:
各版面选择人数的扇形统计图
各版面选择人数的条形统计图
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)a=______%,“第四版”对应扇形的圆心角为 °;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有1200名学生,请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数.
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AB=6,BC=8,求EF的长.
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【题目】已知关于x的方程(1﹣2k)x2﹣2x﹣1=0
(1)若此方程为一元一次方程,求k的值.
(2)若此方程为一元二次方程,且有实数根,试求k的取值范围.
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【题目】已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系___;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)问的条件下,点E. F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
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【题目】如图,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于AB两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,在图中的公路AB上分别画出点P,Q位置.
(2)在公路AB上是否存在这样一点H,使汽车行驶到该点时,与村庄M,N的距离相等?如果存在请在图中AB上画出这一点,如果不存在请说明理由.
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