Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=3，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=AD．tan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：

此时PA＝PC，OB⊥AC，

则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴PD＝ADtan30°＝×＝，

BD＝AD＝，

∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．

故答案为：．