Question

如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，设⊙O的半径为6cm，梯形ABCD的周长为42cm，
（1）求证：OC⊥OD；
（2）求证：OE²=AD•BC；
（3）求AD和BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△OAD≌△OED，进而证明∠DOC=90°问题即可解决．
（2）根据射影定理即可解决问题；
（3）由（2）的结论，结合梯形的周长，即可解决问题．

解答：解：（1）∵DA、DE分别是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠OED-90°，DA=DE；
在△OAD与△OED中，
∵

OD=OD DA=DE

，
∴△OAD≌△OED（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理可证：∠BOC=∠EOC，
∴∠DOC=∠AOD+∠BOC=

1

2

×180°=90°，
即OC⊥OD．

（2）∵AD、DC、BC均为⊙O的切线，
∴AD=ED，BC=CE；OE⊥CD；
由射影定理得：OE²=ED•EC，
∴OE²=AD•BC．

（3）设AD=x，BC=y，
由（2）知：xy=36  ①；
∵梯形ABCD的周长为42cm，
∴2（x+y）+12=42，
即 x+y=15 ②，
联立①、②并解得：x=3，y=12或x=12，y=3，
即AD和BC的长为3和12或12和3．

点评：该命题以圆为载体，在考查切线的性质的同时，还渗透了对勾股定理、射影定理等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．