Question

【题目】如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

（3）点G是抛物线上的动点，点F在x轴上的动点，若以A，C，F，G四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点F坐标（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）QD最大值为；（3）（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．

【解析】

（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，然后表示出DQ，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）设点，再分情况根据平行四边形的性质求出所有满足条件的点F坐标即可．

将点，点代入得

解得

∴抛物线的函数表达式为

（2）设直线AC的解析式为

则

解得

∴直线AC的解析式为，

∴当时，线段DQ长度的最大值为

（3）设点，

①如图，

∵，点，点

∴

解得

∴

∴

∴

②如图，

∵，点，点

∴

解得

∴

∴

∴

③如图，

∵平行四边形对角线互相平分

∴点C和点G的纵坐标之和为0

∵点

∴

解得

当时，对角线交点坐标为

∴

④如图，根据③可得

当时，对角线交点坐标为

∴

故所有满足条件的点F的坐标为（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．