Question

【题目】如图所示，是等边三角形，是外角平分线，点在上，连接并延长与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据△ABC是等边三角形及CE是∠ACF的平分线可得出∠ACE=∠A=60°，再根据∠ADB=∠EDC，即可得出△ABD∽△CED；
（2）作DH⊥BC于点H，由直角三角形的性质得出∠HDC=30°，由AB=AC=6，AD=2CD可得出CD=2，AD=4，由直角三角形的性质可求出DH、HC的长，进而得出BH的长，由勾股定理求出BD的长，根据求出DE的长，即可得出结论．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∵CE是∠ACF的平分线
∴∠ACE=∠A=60°，
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作DH⊥BC于点H，

∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°
∵AC=6，AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，
∵∠HDC=30°，
∴，
∴，

∵△ABD∽△CED，

∴，

∴DE=，

∴BE=BD+DF=2+=3．