Question

11．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；
（2）由∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，求得DC=2，由于OD∥BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，于是得到OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，阴影部分面积即可求得．

解答 解：（1）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∵点D在圆上，
∴DE为⊙O的切线；    

（2）∵∠C=30°，DE=1，∠DEC=90°，
∴DC=2，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=30°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴阴影部分面积S=$\frac{120•π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4π}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题目考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．