Question

3．已知点A（-2，1），B（1，4），若反比例函数y=$\frac{k}{x}$与线段AB有公共点时，k的取值范围是（　　）

• A． -$\frac{9}{4}$≤k＜0或0＜k≤4
• B． k≤-2或k≥4
• C． -2≤k＜0或k≥4
• D． -2≤k＜0或0＜k≤4

Answer 1

分析 当k＞0时，将x=1代入反比例函数的解析式的y=k，当k≤4时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与线段AB有公共点；当k＜0时，将x=-2代入反比例函数的解析式得：y=$\frac{k}{-2}$，当$-\frac{k}{2}≤1$时，反比例函数图象与线段AB有公共点．

解答 解：①当k＞0时，如下图：

将x=1代入反比例函数的解析式得y=k，
∵y随x的增大而减小，
∴当k≤4时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与线段AB有公共点．
∴当0＜k≤4时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与线段AB有公共点．
②当k＜0时，如下图所示：

设直线AB的解析式为y=kx+b．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=3．
所以直线AB所在直线为y=x+3．
将y=x+3与y=$\frac{k}{x}$联立，得：x+3=$\frac{k}{x}$，
整理得：x²+3x-k=0．
∴3²+4k≥0，
解得：k≥-$\frac{9}{4}$．
综上所述，当-$\frac{9}{4}$≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与线段AB有公共点．
故选：A．

点评 本题主要考查的是反比例函数的图象的性质，利用数形结合是解答本题的关键．