【题目】如图,在△ABC中,BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于点G,交BC于点H.下列结论:①∠DBE=∠F;②∠BEF=(∠BAF+∠C); ③∠FGD=∠ABE+∠C;④∠F=(∠BAC﹣∠C);其中正确的是_____.
【答案】①②③④
【解析】
①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,证明结论正确;
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;
③根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确;
④证明∠DBE=∠BAC-∠C,根据①的结论,证明结论正确.
解:①∵BD⊥FD,
∴∠FGD+∠F=90°,
∵FH⊥BE,
∴∠BGH+∠DBE=90°,
∵∠FGD=∠BGH,
∴∠DBE=∠F,
故①正确;
②∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∠BEF=∠CBE+∠C,
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,
∠BAF=∠ABC+∠C,
∴2∠BEF=∠BAF+∠C,
∴∠BEF=(∠BAF+∠C),
故②正确;
③∵∠AEB=∠EBC+∠C,
∵∠ABE=∠EBC,
∴∠AEB=∠ABE+∠C,
∵BD⊥FC,FH⊥BE,
∴∠FGD=90-∠DFH,∠AEB=90-∠DFH,
∴∠FGD=∠AEB
∴∠FGD=∠ABE+∠C.
故③正确;
④∠ABD=90°-∠BAC,
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,
∵∠CBD=90°-∠C,
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,
由①得,∠DBE=∠F,
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE,
∴∠F=(∠BAC-∠C);
故④正确,
故答案为:①②③④.
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【题目】取一副三角板按图1拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角 (0°<α≤45°)得到△ABC′,如图所示.试问:
(1)当α为多少度时,能使得图2中AB∥DC.
(2)连接BD,当0°<α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′的度数为 .
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【题目】如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°.
(1)求∠B的大小;
(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上,已知OA=6,OB=10.点D为y轴上一点,其坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动,当点P与点B重合时停止运动,运动时间为t秒.
(1)当点P经过点C时,求直线DP的函数解析式;
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式;
②如图②,把长方形沿着OP折叠,点B的对应点B′恰好落在AC边上,求点P的坐标.
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于点E.
(1)若∠B=20°,∠C=80°,求∠EAC和∠EAD的大小.
(2)若∠C>∠B,由(1)的计算结果,你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗?写出这个关系式,并加以证明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点O是边长为2的正方形ABCD的中心.
(1)若函数y=x2+m的图象过点C,求这个函数的解析式;并判断其函数图象是否过A点.
(2)若将(1)中的函数图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标.
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【题目】已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为_____秒时,△ABP和△DCE全等.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,过D作DE⊥AC于点E.若DE=a,则△ABC的周长用含a的代数式表示为 .
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