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【题目】如图,在△ABC中,BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于点G,交BC于点H.下列结论:①∠DBE=∠F;②∠BEF=(∠BAF+∠C); ③∠FGD=∠ABE+∠C;④∠F=(∠BAC﹣∠C);其中正确的是_____

【答案】①②③④

【解析】

①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGH,证明结论正确;

②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;

根据垂直的定义和同角的余角相等的性质证明结论正确;

证明∠DBE=∠BAC-∠C,根据①的结论,证明结论正确.

解:①∵BD⊥FD,

∴∠FGD+∠F=90°,

∵FH⊥BE,

∴∠BGH+∠DBE=90°,

∵∠FGD=∠BGH,

∴∠DBE=∠F,

故①正确;

②∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∠BEF=∠CBE+∠C,

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,

∠BAF=∠ABC+∠C,

∴2∠BEF=∠BAF+∠C,

∠BEF=(∠BAF+∠C),

故②正确;

③∵∠AEB=∠EBC+∠C,

∵∠ABE=∠EBC,

∴∠AEB=∠ABE+∠C,

∵BD⊥FC,FH⊥BE,

FGD=90-DFH,AEB=90-DFH,

∴∠FGD=∠AEB

FGD=∠ABE+∠C.

故③正确;

④∠ABD=90°-∠BAC,

∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,

∵∠CBD=90°-∠C,

∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,

由①得,∠DBE=∠F,

∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE,

∴∠F=(∠BAC-∠C);

故④正确,

故答案为:①②③④.

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