Question

【题目】如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，点是的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接，．

(1)求证：是的切线．

(2)填空：

①当的度数为______时，四边形是菱形；

②当时，的面积为_________．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②

【解析】

（1）要证明切线，按照圆周角定理和已知的2倍角关系，证明∠ODP为直角

（2）当四边形OBDE为菱形时，△OBD为等边三角形，则∠P为30°

（3）连接AD，过点E作BC的垂线，通过平行相似得到a、b的第一种关系，根据勾股定理得到a、b的第二种关系，用a、b表示出△CDE的面积，再代入a与b的关系，获得面积值．

（1）如图，连接OD

∵OB＝OD，∠PDB＝∠A

∴∠ODB＝∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣∠PDB

∴∠ODB+∠PDB＝90°

∴∠ODP＝90°

又∵OD是⊙O的半径

∴PD是⊙O的切线

（2）①30°

若四边形OBDE为菱形，则OB＝BD＝DE＝EO＝OD

∴△OBD为等边三角形

∴∠ABD＝∠A＝60°

∴∠PDB＝30°

∴∠P＝30°

即当∠P为30°时，四边形OBDE为菱形

②

如图所示

∵AO＝OE＝2，∠AOE＝90°

∴AE＝

∴EC＝4﹣

∵∠BAC＝45°

∴∠EDB＝135°

∴∠EDC＝45°

设DF＝EF＝b，FC＝a

∵△EFC∽△ADC

∴

∴

∵a2+b2＝（4﹣）2

解得

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