Question

已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由见解析.

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，从而∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，由AAS可证得△DOE≌△BOF.
（2）由△DOE≌△BOF，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由∠DOE=90°可得EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.
∴△DOE≌△BOF（AAS）.
（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下：
∵△DOE≌△BOF，∴DE=BF.
又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形.
∵∠DOE=90°，∴EF⊥BD.
∴BEDF是菱形．