Question

【题目】如图1，在四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为点E，交BC于点F．

（1）求证：FA＝FB；

（2）如图2，分别延长AD，BC交于点G，点H为FG的中点，连接DH，若tan∠ACB＝，求证：DH为⊙O的切线；

（3）在（2）的条件下，若DA＝3，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE＝2．

【解析】

（1）易得∠BAD＝90°，∠AED＝90°，根据余角的性质得∠BAE＝∠ADE，结合等腰三角形的性质和圆周角定理，即可得到结论；

（2）由正切函数的定义得AB＝AD， AG＝AB，从而得AG＝2AD，即点D为AG的中点，进而得DH∥AF，结合∠AED＝90°，即可得到结论；

（3）根据正切三角函数的定义和勾股定理得AB＝6，BD＝3，结合三角形的面积公式，即可得到答案．

（1）∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠ADE，

∴∠ABC＝∠ADE＝∠BAE，

∴FA＝FB；

（2）由（1）知，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，

∵tan∠ACB＝，

∴tan∠ABC＝tan∠ADB＝，

又∵∠BAD＝90°，

∴在Rt△BAD中，AB＝AD，在Rt△BAG中，AG＝AB，

∴AG＝（AD）＝2AD，

∴点D为AG的中点，

又∵点H为FG的中点，

∴DH∥AF，

由（1）知，∠AED＝90°，

∴∠HDE＝∠AED＝90°，

∴DH⊥OD，

∴DH为⊙O的切线；

（3）∵AD＝3，

∴AB＝AD＝6，

∴在Rt△ABD中，BD＝ ＝3，

∵S△ABD＝ABAD＝BDAE，

∴6×3＝3×AE，

∴AE＝2．