Question

如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作OD∥BC交圆的切线AD于点D，交弦AC于E，交半圆于点F．
（1）求证：点E为线段AC的中点；
（2）求证：∠ACO=∠ODA；
（3）若DF=2EF=

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，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由AB是半圆O的直径得到∠ACB=90°，再利用平行线的性质得∠AEO=90°，即OE⊥AC，然后根据垂径定理即可得到AE=CE；
（2）根据切线的性质，由AD为⊙O的切线得到∠OAD=90°，即∠OAE+∠DAE=90°，利用等角的余角相等得∠ADO=∠EAO，加上∠ACO=∠EAO，所以∠ACO=∠ODA；
（3）设⊙O的半径为r，利用DF=2EF=

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，可表示出OE=OF-EF=r-

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，OD=OF+DF=r+

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，再证明△OEA∽△OAD，利用相似比得到r：（r-

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）=（r+

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）：r，然后解方程求出r，从而得到直径AB的长．

解答：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，
∴OE⊥AC，
∴AE=CE，
即点E为线段AC的中点；
（2）证明：∵AD为⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD=90°，即∠OAE+∠DAE=90°，
而∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADO=∠EAO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAO，
∴∠ACO=∠ODA；
（3）解：设⊙O的半径为r，
∵DF=2EF=

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，
∴OE=OF-EF=r-

3

3

，OD=OF+DF=r+

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，
∵∠AOE=∠DOA，
∴△OEA∽△OAD，
∴OA：OE=OF：OA，即r：（r-

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）=（r+

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）：r，
∴r=

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3

，
∴AB=2r=

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．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质．