Question

在△ABC中，O为BC上一点，⊙O过A、C两点交BC于点D，BA为⊙O的切线．
（1）如图1，若AD=1，AC=2，求sin∠BAD的值；
（2）如图2，过B作BE⊥BC交CA的延长线于E，若AC：AE=2：3，求tan∠ABD的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连结OA，如图1，根据切线的性质得∠OAB=90°，即∠BAD+∠OAD=90°，再根据圆周角定理，由CD为直径得到∠CAO+∠OAD=90°，则∠BAD=∠CAO，加上∠CAO=∠ACO，所以∠BAD=∠ACO，在Rt△ADC中利用勾股定理计算出CD=

5

，然后根据正弦的定义求解；
（2）作BF⊥AE于F，连结OA、AD，如图2，设⊙O的半径为r，先根据等角的余角相等得到∠E=∠BAE，而BF⊥AE，根据等腰三角形的性质得AF=EF，由AC：AE=2：3得到AC：AF=4：3，再证明AD∥AC，利用比例线段得到BD=

3

2

r，则OB=

5

2

r，在Rt△ABO中，利用勾股定理得AB=

21

2

r，然后根据正切的定义求解．

解答：解：（1）连结OA，如图1，
∵BA为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，即∠BAD+∠OAD=90°，
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，即∠CAO+∠OAD=90°，
∴∠BAD=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠BAD=∠ACO，
在Rt△ADC中，∵AD=1，AC=2，
∴CD=

AD2+AC2

=

5

，
∴sin∠ACD=

AD

CD

=

1

5

=

5

5

，
∴sin∠BAD=

5

5

；
（2）作BF⊥AE于F，连结OA、AD，如图2，设⊙O的半径为r，
∵BA为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠BAE+∠OAC=90°，
而∠CAO=∠ACO，
∴∠BAE+∠ACO=90°，
∵BE⊥BC，
∴∠E+∠BCE=90°，
∴∠E=∠BAE，
而BF⊥AE，
∴AF=EF，
∵AC：AE=2：3，
∴AC：AF=4：3，
∵∠DAC=90°，
∴AD∥AC
∴

CD

BD

=

CA

AF

，即

2r

BD

=

4

3

，
∴BD=

3

2

r，
∴OB=r+

3

2

r=

5

2

r，
在Rt△ABO中，
AB=

OB2-OA2

=

21

2

r，
∴tan∠ABO=

OA

AB

=

r

21 r 2

=

2 21

21

，
即tan∠ABD=

2 21

21

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行线分线段成比例定理和锐角三角函数．