Question

【题目】如图，抛物线（＜0）与轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且∠ACB＝90°，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．

（1）请直接写出A，B，C三点的坐标及抛物线的解析式；

（2）连接PB，以BP，BC为一组邻边作平行四边形BCDP，当平行四边形BCDP的面积最大时，求P，D两点的坐标；

（3）若点Q是x 轴上一动点，是否存在以P，C，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4），；（2）P（4，6），D（－4，10）；（3）存在以P，C，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形，P1（4，6），Q1（2，0）；P2（， ），Q2（，0）；P3（， ），Q3（，0）

【解析】（1）令＝0，解方程可得x的两个值，即是A、B两点的横坐标，再根据△AOC与△COB相似，可求OC的长，从而得到点C的坐标，最后通过待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）作PE⊥x轴于点E，连接PC，通过设P点坐标（m，n）并用含m的式子表示n，可用含m的二次式表示出平行四边形BCDP的面积，再根据二次函数的最大值即可求出P、D两点坐标；（3）分三种情况①PC=QC,②PC=PQ,③QC=PQ进行分类讨论即可.

解：（1）A（－2，0），B（8，0），C（0，4）

抛物线的解析式为

（2）过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，连接PC

设P点坐标为（m，n），平行四边形BCDP的面积为S

则，OE＝m，BE＝8－m

∵∠COB=∠FEB=90°，∠CBO=∠FBE

∴△BEF∽△BOC

∴，

∴

∴当m＝4时，平行四边形BCDP的面积S最大

此时，P点的坐标为（4，6）

由平移可得此时D点的坐标为（－4，10）

（3）存在以P，C，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形

P1（4，6），Q1（2，0）

P2（， ），Q2（，0）

P3（， ），Q3（，0）