Question

在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足为E、F，△BEF的垂心为H．若DG⊥BC，垂足为G，求证：BH=GF．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接FH，根据已知条件证得四边形BEDG是矩形，求得BG=ED，BG∥ED，然后证得四边形HEDF是平行四边形，得出HF∥ED，HF=ED，进而得出BG∥HF，BG=HF，从而求得四边形BHFG是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论．

解答：证明：连接FH，
∵△BEF的垂心为H．
∴FH⊥BE，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
又∵BE⊥AD，DG⊥BC，
∴BE=DG，BE∥DG，
∴四边形BEDG是矩形，
∴BG=ED，
∵BE⊥AD，FH⊥BE，
∴FH∥AD，
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴AB⊥BF，
∵H是△BEF的垂心，
∴EH⊥BF，
∴AB∥EH∥CD，
∴四边形HEDF是平行四边形，
∴HF=ED，
∴HF=BG，
∵FH∥AD，BC∥AD，
∴HF∥BC，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∴BH=GF．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，作出辅助线，构建平行四边形是本题的关键．