Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，AC、BD交于点O．过O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F．
（1）求证：AE=CF；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OA=OC，AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等即可；
（2连接EC，根据矩形性质得出AD=BC=5，∠ADC=90°，CD=AB=3，OA=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在△EDC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）解：连接EC，如图所示；
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴AD=BC=5，∠ADC=90°，CD=AB=3，OA=OC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设AE=CE=a，则DE=5-a，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE²=DE²+CD²，
即a²=（5-a）²+3²，
a=3.4，
即AE=3.4，
故答案为：3.4．

点评 本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质等知识点，用了方程思想，题目比较典型，是一道比较好的题目．