[题目]如图①.在△ABC中.∠ACB=90°.∠B=30°.AC=1.D为AB的中点.EF为△ACD 的中位线.四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积,(2)将矩形EFGH沿AB向右平移.F落在BC上时停止移动．在平移过程中.当矩形与△CBD重叠部分的面积为时.求矩形平移的距离,(3)如图③.将(2)中矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．

【答案】（1）；（2）矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）

【解析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；

（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．

（1）如图①，

在中，

∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,

又∵D是AB的中点，∴AD=1，．

又∵EF是的中位线，∴，

在中，AD=CD, ∠A=60°,

∴∠ADC=60°．

在中,60°，

∴矩形EFGH的面积．

（2）如图②，设矩形移动的距离为则，

当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，

则，

， ∴．（舍去）．

当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，

重叠部分的面积S=, ∴．

即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．

（3）如图③，作于．

设，则，又，．

在Rt△H2QG1中，，

解之得（负的舍去）．

∴．

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