Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，cos∠BAC=cos∠ADC=

3

5

．若BD=7，求：
（1）DC的长；
（2）sin∠BAD的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）设DC=3x，则AD=5x，AC=4x，根据cos∠BAC=

3

5

，求出AB=

20

3

x，在Rt△ADC中，根据BC=7+3x和勾股定理得出（7+3x）²+（4x）²=（

20

3

x）²，再求出x的值即可，
（2）根据S_△ADC=

1

2

BD•AC=

1

2

AB•AD•sin∠BAD，得出

1

2

×7×4x=

1

2

×

20

3

x×5x•sin∠BAD，再把x的值代入计算即可．

解答：解：（1）∵cos∠ADC=

3

5

，
∴

DC

AD

=

3

5

，
设DC=3x，则AD=5x，AC=4x，
∵cos∠BAC=

3

5

，
∴

AC

AB

=

3

5

，
∴AB=

5

3

AC=

20

3

x，
在Rt△ADC中，
BC=7+3x，
则（7+3x）²+（4x）²=（

20

3

x）²，
x=3，
DC=3x=9，

（2）∵S_△ADC=

1

2

BD•AC=

1

2

AB•AD•sin∠BAD，
∴

1

2

×7×4x=

1

2

×

20

3

x×5x•sin∠BAD，
∴

1

2

×7×4×3=

1

2

×

20

3

×3×5×3•sin∠BAD，
∴sin∠BAD=

7

25

．

点评：本题主要考查了解直角三角形，用到的知识点是三角函数的定义、勾股定理，正确求出图形中的线段的长是解决本题的关键．